[jacke07]

Man sollte nicht vergessen, was der eigentliche Inhalt der im Artikel beschriebenen Entdeckung ist. Es ist selbstverstaendlich nicht die Tatsache, dass man beim Herumschneiden am Moebiusband irgendwelche Baender produziert. Der Autor des Artikels haelt sich gewollt ungewollt mit Details zurueck und spricht salopp von "Form". Ich versuche es mal mit eigenen Worten auf die Gefahr hin, hier ausgebuht zu werden. Das Problem ist folgendes: Was passiert, wenn ich eine rechtwinklige Papierflaeche zu einem Moebiusband verklebe?
Antwort: Das Papier versucht mit moeglichst wenig Zug-und Spannkraeften in eine stabile Form zu finden.
das Problem ist nur hierbei, dass - anders als beim Plateau-problem - es nirgends feste Randbedingungen gibt. Vielmehr gehen in die Gleichgewichtsgleichungen innere Bedingungen wie beschraenkte Deformierbarkeit oder aehnliches ein. Jedenfalls geht es hier um eine Art Optimierungsproblem. Leider sagt der Artikel nichts ueber die technischen Details aus.

[ahaha]

Und wenn ein Ende nicht nur um eine halbe, sondern um anderthalb Runden vor dem Zusammenkleben gedreht wird, entsteht ja auch ein Möbiusband, aus dem, wenn man es mittig zerschneidet, ein mathematischer Knoten entsteht.

[franz auer]

nolens volens[/i] zum Behaelter.

Gruss

Hallo,

ich suche seit längerem schon nach einem Beleg für diese Aussage. Können Sie mir da weiterhelfen?

[franz auer]

Man sollte nicht vergessen, was der eigentliche Inhalt der im Artikel beschriebenen Entdeckung ist. Es ist selbstverstaendlich nicht die Tatsache, dass man beim Herumschneiden am Moebiusband irgendwelche Baender produziert. Der Autor des Artikels haelt sich gewollt ungewollt mit Details zurueck und spricht salopp von "Form". Ich versuche es mal mit eigenen Worten auf die Gefahr hin, hier ausgebuht zu werden. Das Problem ist folgendes: Was passiert, wenn ich eine rechtwinklige Papierflaeche zu einem Moebiusband verklebe?
Antwort: Das Papier versucht mit moeglichst wenig Zug-und Spannkraeften in eine stabile Form zu finden.
das Problem ist nur hierbei, dass - anders als beim Plateau-problem - es nirgends feste Randbedingungen gibt. Vielmehr gehen in die Gleichgewichtsgleichungen innere Bedingungen wie beschraenkte Deformierbarkeit oder aehnliches ein. Jedenfalls geht es hier um eine Art Optimierungsproblem. Leider sagt der Artikel nichts ueber die technischen Details aus.

Ich habe einige Fragen und Anmerkungen dazu:

Erst mal eine Anmerkung: Wenn man "Form" topologisch interpretiert, also als etwas, das sich nicht ändert, wenn man das Objekt stetig verformt, dann gibt es natürlich gar kein Problem. Jeder kann aus Papier ein Möbiusband basteln. Man kann auch sehr leicht Gleichungen für eine Einbettung angeben (und in der Literatur finden).

Nun zu den Fragen:

Da man ein Möbiusband leicht aus Papier basteln kann und Papier sich nicht leicht dehnen lässt, hätte ich eigentlich vermutet, dass es eine isometrische Einbettung gibt, also ein Möbiusband, das keine Gaußkrümmung besitzt.

Außerdem hätte ich vermutet, dass es, wie z.B. bei einem eingebetteten Zylinder, sehr viele Möglichkeiten dafür gibt, also bei weitem keine eindeutige Lösung.

[a.michailidis]

Noch eine Anmerkung:

Im Artikel steht:

"Das erste Ergebnis: Die Form einer Endlosschleife hängt allein von einer einzigen Zahl ab, dem Verhältnis zwischen Länge und Breite des Streifens. Das reicht aus, um die Krümmung und Drehung des Bandes - und damit sein Aussehen - zu berechnen."

Heißt das die Form des Bandes ist unabhängig von der Wahl des Materials (vorausgesetzt es ist flexibel genug für die Verdrehung) des Streifens? Man nehme z.B. unterschiedlich dickes Papier, Länge und Breite des zu verdrehenden Streifens bleiben konstant => die Form der erzeugten Möbiusbänder bleibt gleich?

[Lupo1977]

Müsste doch so sein, oder ? Wenn ich eine Band der Länge x zu einem Kreis biege, ist der auch unabhängig vom Material immer gleich groß. (jetzt die Dicke mal außen vor gelassen, aber es geht ja wohl auch nur um die Mittellinie)

Einen Unterschied habe ich wahrscheinlich erst dann wenn ich ein Band aus verschiedenen Materialien nutzen würde, aber so lange das Material überall gleichmäßig ist sollte es auch immer die gleiche Form haben... ?

(Also jetzt mal so von meiner laienansicht her...)

[jacke07]

Hallo, Franz

Gruss
Hallo,

ich suche seit längerem schon nach einem Beleg für diese Aussage. Können Sie mir da weiterhelfen?

Mir wurde dieser Treppenwitz von einem Geometer einmal zugetragen. Einen Beleg habe ich leider nicht. Freilich, Geschichte und Geschichten vermischen sich gelegentlich zu einem unorientierbaren Band. Trotzdem, auch wenn es nicht stimmen mag, mir gefaellt diese Anekdote.

Da man ein Möbiusband leicht aus Papier basteln kann und Papier sich nicht leicht dehnen lässt, hätte ich eigentlich vermutet, dass es eine isometrische Einbettung gibt, also ein Möbiusband, das keine Gaußkrümmung besitzt.

Außerdem hätte ich vermutet, dass es, wie z.B. bei einem eingebetteten Zylinder, sehr viele Möglichkeiten dafür gibt, also bei weitem keine eindeutige Lösung.

Ich glaube, dass die Frage der beiden Forscher nicht gewesen ist, ob es eine Isometrie gibt oder nicht. Will man ein ideales Blatt Papier der Dicke 0 nicht zerknueddeln, kommt man um eine Isometrie nicht herum. In der Realitaet hat das Blatt aber sehr wohl eine Dicke, auch wenn wir hier von Bruchteilen eines Millimeters sprechen! Welche inneren Spannungen im Blatt herrschen wird technisch gesprochen durch die Deformationsenergie infinitesimaler Verschiebungen bestimmt. Biegt man ein Blatt zu einem Zylinder werden die ausseren Materialschichten gedehnt, die inneren gestaucht. Diese Energie ist umso geringer je "flacher" das Blatt ist. Doch diese Energie ist entscheidend fuer das Verhalten des Papiers! Deswegen: das Problem wird durch Beruecksichtigung der dritten Dimension (Dicke des Papiers) ein eher nicht-geometrisches Problem.

Gruss

[jacke07]

Ich will ja nicht behaupten, ich hätte die Lösung verstanden, aber es handelt sich beim Möbiusband doch wohl eher um ein geometrisches Problem, das hier gar nicht gelöst ist. Aus deren Ansatz ist es wohl schwerlich möglich die Form vorherzusagen, die beim Durchschneiden an der Mittellinie entsteht. Das würde ich aber für ein gutes Kriterium für eine Lösung halten.

Martin

Dass beim Halbieren oder Dritteln des Moebiusbandes gewisse orientierbare oder nicht-orientierbare Bander herauskommen kannst du mit einer kleinen Zeichnung schnell selber einsehen. Die Forscher haben sich auch deshalb nicht dafuer interessiert. Man muss hier, denke ich - und ich wiederhole mich - zwischen geometrischen, oder besser, topologischen und - salopp gesprochen - physikalischen Fragestellungen unterscheiden. Die Topologie geht hier als eine Nebenbedingung ein. Doch sagt die Topologie noch lange nichts darueber aus, wie das Papier als physikalisches Objekt sich verhaelt.

[aviak]

Ein Möbiusband ist (soweit ich weiß) dadurch definiert, dass es nur eine Kante und eine Fläche besitzt.

D.h. anschaulich: wenn man irgendwo auf dem Möbiusband anfängt die Fläche zu färben, ist am Ende das ganze Möbiusband gefärbt.

Ich bin daher der Meinung, dass beim Halbieren eines Möbiusbands kein Möbiusband doppelter Länge (wie auf dem Bastelbogen beschrieben) entsteht, sondern lediglich eine Schleife.

Ist meine Definition etwa falsch? Oder wo liegt mein Denkfehler?

[captain_ahab]

Hallo,

ich suche seit längerem schon nach einem Beleg für diese Aussage. Können Sie mir da weiterhelfen?

Hallo,
meine mich zu erinnern, in einem Band, der die Biographien einiger Mathematiker versammelte, von dieser Akendote gelesen zu haben. Ist in der Reihe der Anderen Bibliothek erschienen, der Band kam vor 3-4 Jahren raus, ich habe ihn aber leider nicht zur Hand. Es könnte sich evtl. lohnen den Autor diesbezüglich anzuschreiben, wenn ich mich in meiner Erinnerung getäuscht haben sollte, der Mann ist Wissenschaftsjournalist /-essayist und dürfte ebenfalls davon gehört haben. Mglw. ist er der Herkunft intensiver nachgegangen.